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Motivados pela noção de métrica Hermitiano-Einstein multiplicadora do tipo introduzido por Mabuchi, introduzimos a noção de métricas K"ahler -extremais em variedades K"ahler compactas, que generaliza as métricas K"ahler extremais de Calabi. Caracterizamos a existência dessa métrica em termos da coercividade de um certo funcional no espaço das métricas K"ahler para mostrar que, em uma variedade Fano, a existência de uma métrica K"ahler -extremal implica a existência de uma métrica Hermitiano-Einstein multiplicadora do tipo.
Nakagawa et al. (Qui,) estudaram essa questão.