Medindo a convexidade de somas compactas com o índice de não-convexidade de Schneider

Em trabalhos recentes, Franck Barthe e Mokshay Madiman introduziram o conceito da região de Lyusternik, denotada por ₍ (m), para compreender melhor os volumes de somas. Eles deram uma caracterização de ₍ (2) (os volumes de conjuntos compactos em Rⁿ quando no máximo m=2 conjuntos são somados) e demonstraram que a medida de Lebesgue satisfaz uma propriedade superaditiva fracionária. Tentamos imitar a ideia da região de Lyusternik definindo uma região baseada na função do índice de não-convexidade de Schneider, que foi originalmente definida por Rolf Schneider em 1975. Chamamos essa região de região de Schneider, denotada por S₍ (m). Neste artigo, daremos uma caracterização inicial da região S₁ (2) e, ao fazer isso, provaremos que o índice de não-convexidade de Schneider de uma soma c (A₁+A₂) possui um melhor limite inferior em termos de c (A₁) e c (A₂). Levantaremos algumas questões abertas sobre a extensão desse limite inferior para dimensões mais altas e grandes somas. Também mostraremos que, análogo à medida de Lebesgue, o índice de não-convexidade de Schneider possui uma propriedade subaditiva fracionária. Quanto à região de Lyusternik, demonstraremos que quando o número de conjuntos adicionados é m3, a região ₍ (m) não é fechada, provando uma nova propriedade qualitativa para a região.