O processo de ponto extremal do movimento Browniano de ramificação em Rd

Consideramos um movimento Browniano de ramificação em Rd com d≥1 em que a posição Xt(u)∈Rd de uma partícula u no tempo t pode ser codificada pela sua direção θt(u)∈Sd−1 e sua distância Rt(u) a 0. Provamos que o processo de ponto extremal ∑δ (θt(u),Rt(u)−mt(d)) (onde a soma é sobre todas as partículas vivas no tempo t e mt(d) é um termo de centralização explícito) converge em distribuição para um processo de Poisson decorado, aleatoriamente deslocado, em Sd−1×R. Mais precisamente, os chamados líderes do clã formam um processo de Cox com intensidade proporcional a D∞(θ)e− 2rdrdθ, onde D∞(θ) é o limite da martingala derivativa na direção θ e as decorações são cópias i.i.d. do processo de decoração do movimento Browniano de ramificação unidimensional padrão. Isso prova uma conjectura de Stasiński, Berestycki e Mallein (Ann. Inst. Henri Poincaré Probab. Stat. 57 (2021) 1786–1810). A prova se baseia naquele artigo e em Kim, Lubetzky e Zeitouni (Ann. Appl. Probab. 33 (2023) 1315–1368).