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É bem conhecido que a relaxação de McCormick para a restrição bilinear z = xy fornece o envoltório convexo sobre os domínios em caixa para x e y. Em aplicações de rede onde o domínio das variáveis bilineares é descrito por um polígono de rede, a relaxação de McCormick, também chamada de linearização, falha em fornecer o envoltório convexo e muitas vezes leva a limites duais pobres. Estudamos o envoltório convexo do conjunto contendo restrições bilineares Fórmula: veja o texto onde x i representa a variável de fluxo de arco em um polígono de rede, e y j está em um simples. Para o caso onde o simples contém uma única variável y, introduzimos um procedimento sistemático para obter o envoltório convexo do conjunto acima no espaço original das variáveis, e mostramos que todas as desigualdades definidoras de facetas do envoltório convexo podem ser obtidas explicitamente através da identificação de uma estrutura de árvore especial na rede subjacente. Para a generalização onde o simples contém múltiplas variáveis y, projetamos um procedimento construtivo para obter uma classe importante de desigualdades definidoras de facetas para o envoltório convexo do conjunto bilinear subjacente que é caracterizada por uma estrutura de floresta especial na rede subjacente. Experimentos computacionais realizados em diferentes aplicações mostram a eficácia dos métodos propostos em melhorar os limites duais obtidos a partir de técnicas alternativas. Financiamento: Este trabalho foi apoiado pela Força Aérea dos Estados Unidos, Escritório de Pesquisa Científica, Subvenção FA9550-23-1-0183; Fundação Nacional de Ciência, Divisão de Inovação em Civil, Mecânica e Fabricação, Subvenção 2338641. Material Suplementar: O apêndice online está disponível em https://doi.org/10.1287/moor.2023.0001.
Khademnia et al. (Mon,) estudaram essa questão.