Uma nota sobre a Conjectura de Correspondência de Erdos

A Conjectura de Correspondência de Erdos afirma que o tamanho máximo f(n, k, s) de uma família F nk que não contém s conjuntos disjuntos entre si é \|A₊, ₒ|, |B₍, ₊, ₒ|\, onde A₊, ₒ=sk-1k e B₍, ₊, ₒ=\B n{k: B s-1 \}. O caso s=2 é simplesmente o teorema de Erdos-Ko-Rado sobre famílias interseccionantes e é bem compreendido. O caso n=sk foi resolvido por Kleitman e a singularidade da construção extremal foi obtida por Frankl. A maioria dos resultados nesta área mostra que se k, s forem fixos e n for grande o suficiente, então a conjectura se mantém verdadeira. As exceções são devido a Frankl, que provou a conjectura e considerou variantes para n sk, sk+cₒ, ₊ se s for grande o suficiente em comparação com k. Um manuscrito recente de Guo e Lu considera famílias não triviais com número de correspondência no máximo s em uma faixa semelhante de parâmetros. Nesta breve nota, estamos preocupados com o caso s 3 fixo, k tendendo ao infinito e n\sk, sk+1\. Para n=sk, mostramos a estabilidade da construção extremal única de tamanho sk-1k=s-1sskk com relação ao grau mínimo. Como consequência, derivamos ₊ f (sk+1, k, s) sk+1{k}<s-1s-ₛ para alguma constante positiva ₛ que depende apenas de s.