Bolas em grupos: volume, estrutura e crescimento

Damos limites precisos na versão finita do teorema de Gromov sobre grupos com crescimento polinomial, de Breuillard, Green e Tao. Precisamente, mostramos que para todo inteiro não-negativo d existe c=c (d) >0 tal que se G é um grupo com um conjunto gerador simétrico finito S contendo a identidade e |Sⁿ| cn^d+1|S| para algum inteiro positivo n, então existem subgrupos normais H G tais que H Sⁿ, de modo que /H é d-nilpotente (ou seja, tem uma série central de comprimento d com fatores cíclicos) e tal que G: g (d), onde g (d) denota a ordem máxima de um subgrupo finito de GLd (Z). Os limites tanto sobre a nilpotência quanto sobre o índice são precisos; os melhores limites anteriores eram O (d) sobre a nilpotência, e uma função ineficaz de d sobre o índice. De fato, obtemos isso como uma pequena parte de uma descrição muito mais detalhada da estrutura de G. Estes resultados têm uma ampla gama de aplicações em vários aspectos da teoria de grafos transitivos de vértice: teoria da percolação, passeios aleatórios, estrutura de grupos finitos, limites de escala de grafos finitos transitivos de vértice... Obtivemos algumas dessas aplicações no presente artigo e tratamos outras em artigos companheiros. Algumas são de autoria de outros autores ou em parceria com eles.