Propriedades SL₂-like de Matrizes Sobre Anéis Não Comutativos e Generalizações de Números de Markov

Estudamos matrizes 2 2 sobre anéis não comutativos com anti-involução, com um foco especial no grupo simpético Sp₂ (A, ). Definimos traços e determinantes dessas matrizes e os usamos para provar uma identidade de Cayley-Hamilton e relações de traço que generalizam relações bem conhecidas para elementos de SL₂ (R) sobre um anel comutativo. Comparamos a estrutura de elementos de Sp₂ (A, ) com matrizes de Manin sobre anéis não comutativos gerais; isso leva naturalmente a uma quantização Sp₂ (A, ) q. Em contraste com a definição usual do grupo quântico como uma deformação do anel de funções matriciais em SL₂ (R), essa quantização produz um grupo de matrizes sobre um novo anel não comutativo com involução. Concluímos a comparação construindo uma generalização de uma estrutura de álgebra de Hopf no anel não comutativo de funções matriciais do nosso grupo quântico. Finalmente, usamos as álgebras de clusters do tipo superfície não comutativas de Berenstein e Retakh para dar uma interpretação geométrica de nossa estrutura de álgebra de Hopf e para produzir generalizações não comutativas de números de Markov sobre muitos anéis com involução, incluindo os números complexos, números duales, anéis de matrizes e anéis de grupos.