Contagem de autovalores de operadores de Schrödinger usando a função paisagem

Provamos um limite superior e um limite inferior sobre o posto das projeções espectrais do operador de Schrödinger - + V em termos do volume dos conjuntos de subnível de um potencial efetivo 1u. Aqui, u é a ‘função paisagem’ de G. David, M. Filoche, e S. Mayboroda Adv. Math. 390 (2021), artigo nº 107946, ou seja, uma solução de (- + V) u = 1 em R^d. Provamos o resultado para potenciais não negativos que satisfazem uma condição do tipo Kato e uma condição de duplicação, em todas as dimensões espaciais, em volume infinito, e mostramos que nenhuma discretização é necessária. Nosso resultado fornece, em particular, uma condição necessária e suficiente para a discreção do espectro. No caso de potenciais polinomiais não negativos, provamos que o espectro é discreto se e somente se nenhuma derivada direcional se anula identicamente.