Designs T unitários eficientes a partir de somas aleatórias

Os designs T unitários desempenham um papel importante na informação quântica, com diversas aplicações em algoritmos quânticos, benchmarking, tomografia e comunicação. Até agora, a construção mais eficiente de designs T unitários para sistemas n-qudit tem sido por meio de circuitos quânticos locais aleatórios, que demonstraram convergir para designs T aproximados na norma de diamante usando O (T^5+o (1) n²) portas quânticas. Neste trabalho, fornecemos uma nova construção de designs T via teoria de matrizes aleatórias usando O (T² n²) portas quânticas. Nossa construção aproveita duas ideias principais. Primeiro, no espírito dos teoremas do limite central, aproximamos a Conjunto Unitário Gaussiano (GUE) por uma soma i.i.d. de matrizes hermitianas aleatórias. Em segundo lugar, mostramos que o produto de apenas duas matrizes GUE exponenciadas já é aproximadamente aleatório de Haar. Assim, multiplicar duas somas exponenciadas sobre matrizes aleatórias bastante simples resulta em um design T unitário, via simulação Hamiltoniana. Uma característica central de nossa prova é uma nova conexão entre o método polinomial na complexidade de consultas quânticas e a expansão de grande dimensão (N) na teoria de matrizes aleatórias. Em particular, mostramos que o método polinomial fornece limites exponencialmente melhorados nos altos momentos de certos conjuntos de matrizes aleatórias, sem exigir cálculos intrincados de Weingarten. Para isso, definimos e resolvemos um novo tipo de problema de momentos no círculo unitário, indagando se um número finito de pontos igualmente ponderados, correspondendo a autovalores de matrizes unitárias, pode reproduzir um determinado conjunto de momentos.