Rigidez de Volume de Variedades Simpliciais

Resultados clássicos de Cauchy e Dehn implicam que o 1-esqueleto de um poliedro convexo P é rígido, ou seja, todo movimento contínuo dos vértices de P em R³ que preserva seus comprimentos de arestas resulta em um poliedro que é congruente a P. Este resultado foi estendido a politopos convexos em Rᵈ para todos d ≥ 3 por Whiteley, e a realizações genéricas de 1-esqueletos de variedades simpliciais (d-1)-manifolds em R^d por Kalai para d ≥ 4 e Fogelsanger para d ≥ 3. Generalizaremos o resultado de Kalai mostrando que, para todo d ≥ 4 e qualquer k fixo com 1 ≤ k ≤ d-3, toda realização genérica do k-esqueleto de uma variedade simplicial (d-1)-manifold em R^d é rigidamente volumétrica, ou seja, todo movimento contínuo de seus vértices em Rᵈ que preserva os volumes de suas faces k resulta em uma realização congruente. Além disso, conjecturamos que nosso resultado permanece verdadeiro para k=d-2 e verificamos essa conjectura quando d=4, 5, 6.