Métodos de gradiente proximal em espaços de Banach

Métodos de gradiente proximal são uma ferramenta popular para a solução de problemas de minimização estruturados e não suaves. Neste trabalho, investigamos uma extensão dos mesmos para espaços de Banach gerais e fornecemos taxas de convergência no pior caso para instâncias de problemas convexos e não convexos. Além disso, assumindo propriedades de regularidade adicionais de pontos estacionários, são derivadas taxas de convergência lineares. Os resultados teóricos são ilustrados para problemas de controle ótimo do tipo bang-bang com equações diferenciais parciais que estudamos no espaço de medidas de Radon. Uma implementação eficiente do método de gradiente proximal L¹ resultante é apresentada e seu desempenho é comparado ao método padrão de gradiente proximal L², bem como aos métodos de Frank-Wolfe. O artigo é complementado por uma discussão sobre a relação entre diferentes propriedades de regularidade e por uma nova caracterização da propriedade de Polyak--Łojasiewicz--Kurdyka por meio de condições de segunda ordem envolvendo subderivadas fracas de segunda ordem.