Sobre semianéis locais induzidos por topologias: Uma abordagem algébrica para a conjectura de Collatz

Apresentamos uma abordagem algébrica para a conjectura de Collatz estudando a topologia τf em ℕ induzida pela função de Collatz f, onde os conjuntos abertos θ ⊂ ℕ satisfazem f-1 (θ) ⊂ θ. Essa topologia, conhecida como topologia primal, transforma τf em um semianel comutativo. Provamos que a conjectura de Collatz é verdadeira se e somente se τf é local. De forma mais geral, mostramos que qualquer topologia primal compacta corresponde a um semianel que se decompõe como uma soma direta finita de certos semianéis locais e que a compacidade primal conecta a caracterização da localidade. Além disso, estabelecemos que um espaço topológico não é w-R0 se e somente se seu semianel associado de conjuntos abertos possui um único ideal maximal tal que é um ideal de evasão de um conjunto fechado.