Detecção de quebras espectrais em modelos de covariância com picos

Neste artigo, os principais objetos de interesse são as matrizes de covariância sequenciais Sn, t e seus maiores autovalores. Aqui, a matriz Sn, t é calculada como a covariância empírica associada às observações x1, …, x⌊nt⌋, para t∈0, 1. As observações x1, …, xn são assumidas como vetores i.i.d. de p dimensões com média zero e uma matriz de covariância que é uma perturbação de posto fixo da matriz identidade. Tratando Sn, tt∈0, 1 como um processo estocástico indexado por t, estudamos o comportamento dos maiores autovalores de Sn, t, à medida que t varia, com n e p aumentando simultaneamente, de forma que p∕n→y∈ (0, 1). Como uma contribuição chave deste trabalho, estabelecemos a convergência fraca do processo estocástico correspondente aos autovalores amostrados com picos, se seus correspondentes populacionais excedem o limite crítico da transição de fase. Nossa análise do processo limite é totalmente abrangente, revelando, em geral, processos limites não gaussianos. Como aplicação, consideramos uma classe de problemas de ponto de mudança, onde o interesse reside em detectar quebras estruturais na covariância causadas por uma mudança na magnitude dos autovalores com picos. Para esse propósito, propomos duas estatísticas máximas diferentes correspondentes aos autovalores centrais com picos das covariâncias sequenciais. Demonstramos a existência de distribuições nulas limites para essas estatísticas e provamos a consistência do teste sob alternativas fixas. Além disso, comparamos o comportamento dos testes propostos por meio de um estudo de simulação.