Sobre o Integral de Valor Absoluto de um Movimento Browniano com Deriva: Fórmulas Exatas e Assintóticas

O presente artigo trata do integral do valor absoluto de um movimento browniano com deriva. Ao estabelecer uma expansão assintótica da transformada de Laplace em espaço, obtemos representações em série para a função de densidade de probabilidade e a função de distribuição acumulada do integral, utilizando a função G de Meijer. Uma fórmula funcional recursiva é derivada para os momentos, que se mostra capaz de produzir apenas exponenciais e a função de erro de Gauss até ordens arbitrárias, permitindo cálculos exatos. Para obter estimativas assintóticas precisas para probabilidades de pequenas e grandes desvios, empregamos uma transformada de Laplace marginal espaço-temporal e aplicamos uma generalização recentemente desenvolvida do método de Laplace a integrais Airy exponenciais. O impacto da deriva na distribuição completa do integral é explorado em profundidade. As novas fórmulas resultantes complementam as existentes no caso de movimento browniano padrão em grande extensão, tanto em termos de generalidade teórica quanto de capacidade de modelagem, e foram apresentadas para fácil implementação, conforme demonstram experimentos numéricos.