Operadores de extensão para mapeamentos localmente univalentes

Seja C o espaço de n variáveis complexas z = (z1, . . . , zn) com o produto interno euclidiano 〈z, w〉 = ∑n j=1 zj wj e a norma euclidiana ‖z‖ = 〈z, z〉1/2. Seja z ′ = (z2, . . . , zn) de modo que z = (z1, z ′). Seja B r = z ∈ C: ‖z‖ < r e seja B = B 1. No caso de uma variável, B r é denotado por Ur e U1 por U. Se G ⊂ C é um conjunto aberto, seja H (G) o conjunto de mapeamentos holomórficos de G em C. Se f ∈ H (Bn r), dizemos que f é normalizado se f (0) = 0 e Df (0) = I. Seja S (B r) o conjunto de mapeamentos univalentes normalizados em H (B n r). Os conjuntos de mapeamentos convexos normalizados (resp., estelares) de B r são denotados por K (B n r) (resp., S ∗ (Bn r)). Quando n = 1, os conjuntos S (U), S ∗ (U) e K (U) são denotados por S, S ∗ e K, respectivamente. Para vetores e matrizes, A∗ denota a transposta conjugada de A. Lembramos que um mapeamento F: B × (0, ∞) → C é chamado de cadeia de Loewner se F (·, t) for univalente em B, F (0, t) = 0, DF (0, t) = eI para t ≥ 0, e F (z, s) ≺ F (z, t), z ∈ Bn, 0 ≤ s ≤ t < ∞, onde o símbolo ≺ significa a subordinação usual. Consideraremos o conjunto S 0 (Bn) consistindo daqueles mapeamentos F ∈ S (B) que podem ser imersos em cadeias de Loewner. É bem conhecido que, no caso de várias variáveis complexas, S 0 (Bn) é um subconjunto próprio de S (B) (ver [K; GrHK). Se F: B r → C (0 < r ≤ 1), dizemos que F ∈ S 0 (Bn r) se Fr ∈ S 0 (Bn), onde Fr (z) = r F (rz) e z ∈ Bn. Um mapeamento f ∈ H (Bn) com f (0) = 0 é chamado de estelar se f for univalente em B e se f (B) for um domínio estelar em relação a zero. Sabe-se que a estelaridade pode ser caracterizada em termos de cadeias de Loewner: f é estelar em B se e somente se f (z, t) = ef (z) (z ∈ B, t ≥ 0) é uma cadeia de Loewner. Para a caracterização analítica da estelaridade, veja S1; S2. Um papel chave em nossa discussão é desempenhado pela versão n-dimensional do conjunto de Caratheodory: