Resolvendo equações diferenciais parciais de alta dimensão usando aprendizado profundo

O desenvolvimento de algoritmos para resolver equações diferenciais parciais (EDPs) de alta dimensão tem sido uma tarefa extremamente difícil por um longo tempo, devido ao problema notoriamente complicado conhecido como "maldição da dimensionalidade." Este artigo introduz uma abordagem baseada em aprendizado profundo que pode lidar com EDPs parabólicas de alta dimensão de forma geral. Para tal, as EDPs são reformuladas utilizando equações diferenciais estocásticas retroativas e o gradiente da solução desconhecida é aproximado por redes neurais, muito no espírito do aprendizado por reforço profundo, com o gradiente atuando como a função de política. Resultados numéricos em exemplos, incluindo a equação de Black-Scholes não linear, a equação de Hamilton-Jacobi-Bellman e a equação de Allen-Cahn, sugerem que o algoritmo proposto é bastante eficaz em altas dimensões, tanto em termos de precisão quanto de custo. Isso abre possibilidades na economia, finanças, pesquisa operacional e física, considerando todos os agentes participantes, ativos, recursos ou partículas juntos ao mesmo tempo, em vez de fazer suposições ad hoc sobre suas inter-relações.