Efficient DG-based simulations of coupled surface-subsurface water flow

Die Bedeutung der Modellierung von ober- und unterirdischen hydrologischen Prozessen für die Hochwasservorhersage, landwirtschaftliche Praktiken und Klimaforschung kann kaum überschätzt werden. Die Lösung dieser Probleme für großflächige Regionen erfordert jedoch rechnerische Herausforderungen, die effiziente numerische Methoden und parallele Berechnungen auf verteilten Rechensystemen (Supercomputern) notwendig machen. Ein ebenso wichtiger Schritt ist die Auswahl und Vereinfachung eines genauen Modells, das die Prozesse dennoch angemessen beschreibt. Diese Studie stellt einen Ansatz vor, der auf der diffusen Wellenapproximation der Flachwassergleichungen f¨ur Oberflächenströmungen und der Richards-Gleichung für Untergrundströmungen basiert. Die Herausforderung besteht darin, dass beide Gleichungen nichtlineare Diffusionsgleichungen mit lokal verschwindendem Diffusionskoeffizienten sind. Für die Diskretisierung der partiellen Differentialgleichungen wurde eine modifizierte Methode der diskontinuierlichen Galerkin-Finite-Elemente ausgewählt. Insbesondere wurde die symmetrisch gewichtete Innenstrafung mit Aufwinddiffusion verwendet, adaptiert aus Techniken der Finite-Volumen-Methode. Es wird eine neue Formulierung der Methode vorgeschlagen, die bisher in der Literatur nicht zu finden ist und die für die weitere Finite-Elemente-Analyse vorteilhaft sein könnte. Diese Wahl bietet mehrere Vorteile wie hohe Genauigkeit und Anpassungsfähigkeit, Flexibilität im Umgang mit Diskontinuitäten, Robustheit und Erhaltung physikalischer Eigenschaften, Parallelisierbarkeit und Effizienz. Sie wird erfolgreich auf unstrukturierte Gitter angewendet, was besonders vorteilhaft für Regionen mit komplexer Geometrie ist. Die Methode ermöglicht Berechnungen lokal auf jedem Gitterelement, wodurch das Datenvolumen, das zwischen CPUs ausgetauscht wird, reduziert und die Recheneffizienz erhöht wird. Bei jedem Zeitschritt des gekoppelten Problems werden zunächst Oberflächen- und Untergrundströmungen unabhängig voneinander simuliert, optional mit unterschiedlichen Zeitschritten. Ein diagonal implizites Runge-Kutta-Schema wird für die Untergrundströmung verwendet, während ein semi-implizites Schema für die Oberflächenströmung eingesetzt wird. Anschließend wird die Kopplung der erhaltenen Lösungen auf der Grundlage der Signorini-Randbedingung angewendet. Die Kopplungsmethode wird lokal an jedem Quadraturpunkt auf der Kopplungsgrenze angewendet, wodurch die Notwendigkeit des Nass-Trocken-Trackings vermieden wird. Während der Untersuchung dieses Modells wurde die ursprüngliche Hypothese durch die Anwendung eines Limiters für die Oberflächenströmung ergänzt, was die Verwendung eines größeren Zeitschritts ermöglichte. Darüber hinaus wurden effizienzsteigernde Techniken wie Code-Generierung und kubische Splines für die ressourcenintensiven Berechnungen nichtlinearer Bodenparameter eingesetzt. Auf der Basis des Softwarecodes vorheriger Forscher im Rahmen des DUNEPDELab wurde ein System implementiert, das dem vorgeschlagenen Modell und der Diskretisierung entspricht. Die Ergebnisse, die mit dem parallelen numerischen Löser im Rahmen des EXA-DUNE-Projekts erzielt wurden, werden in der Dissertation präsentiert. Das vollständig gekoppelte Modell wurde in parallelen Simulationen auf strukturierten und unstrukturierten Gittern getestet. Die Validierung erfolgte anhand von Analogien und Benchmarks aus der Literatur. Es wurde gezeigt, dass der vorgeschlagene Limiter notwendig ist, um einen stabilen und zuverlässigen Löser für hochgradige DG-Schemata zu konstruieren. Tests zur schwachen und starken Skalierbarkeit wurden in parallelen Berechnungen durchgeführt. Berechnungen wurden bei 1.18 · 108 Freiheitsgraden auf einem unstrukturierten Gitter durchgeführt, das eine reale Topographie approximiert.