The gradient flow of the fractional area functional: Well-posedness and nonlocal-to-local convergence

In der vorliegenden Masterarbeit wird der Gradientenfluss des klassischen Flächenfunktionals sowie des s-fraktionalen Flächenfunktionals untersucht. Das erste zentrale Ziel besteht darin, zu beweisen, dass die Evolutionsgleichungen der Gradientenflüsse dieser Funktionale wohlgestellt sind. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wird zunächst ein Überblick über die klassische Theorie nichtlinearer Halbgruppen für konvexe, untenstetige Funktionale gegeben. Im weiteren Verlauf werden sowohl das klassische als auch das fraktionale Flächenfunktional vorgestellt und analysiert. Besonderes Augenmerk wird auf die strukturellen Eigenschaften des fraktionalen Flächenfunktionals gelegt, darunter Konvexität, untere Halbkontinuität und eine Charakterisierung seines Definitionsbereichs. Des Weiteren wird das abgeschnittene fraktionale Flächenfunktional untersucht, wobei unter geeigneten Annahmen des äußeren Datums die untere Halbkontinuität bewiesen wird. Diese Eigenschaften ermöglichen die Anwendung des Brezis--Komura Theorems, um die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen des entsprechenden Gradientenflusses zu beweisen. Das zweite zentrale Ziel besteht in der Analyse des nichtlokal-zu-lokalen Grenzwerts, wenn der fraktionale Parameter s gegen 1 geht. Unter Verwendung von Trunkierungstechniken und der Beziehung zwischen dem fraktionalen und dem klassischen Perimeter wird bewiesen, dass ein geeignet skaliertes fraktionales Flächenfunktional punktweise und im Mosco-Sinne gegen das klassische Flächenfunktional konvergiert. Dies impliziert die gleichmäßige Konvergenz der entsprechenden Gradientenflusslösungen. Zuletzt wird der Gradientenfluss mit Hilfe des WED-Funktionals (Weighted Energy Dissipation) neu formuliert, wodurch eine zeitlich globale Variationsperspektive eingenommen wird. Es werden die Konvergenz zur Lösung des Gradientenflusses und die nichtlokal-zu-lokale Konvergenz des Minimierungsproblems gezeigt.