Cet article étudie la famille paramétrique des nombres premiers p=km (m+1) +ε+2kqp = km (m+1) + + 2kq p = km (m + 1) + ε + 2 k q avec k∈3, 15, 21k \3, 15, 21\ k ∈ 3, 15, 21 et ∣q∣|q| ∣ q ∣ minimal, qui attribue à chaque nombre premier une base hexagonale généralisée Hm (k) =km (m+1) +1Hₘ^ (k) = km (m+1) +1 H m (k) = km (m + 1) + 1 et un déplacement signé qq q. Il s'agit de la suite du document I (avril 2026), étendant l'analyse de N=106N=10⁶ N = 1 0 6 à N=108N=10⁸ N = 1 0 8 premiers et unifiant trois sessions de recherche indépendantes. Principales contributions: Deux théorèmes rigoureux. (i) Sous GRH, ∣qmin (m, ε) ∣=Ok (mlog2m) |q_ (m, ) | = Oₖ (m² m) ∣ q min (m, ε) ∣ = O k (m log 2 m) via la borne conditionnelle de Linnik de Heath-Brown (Théorème 2. 3). (ii) Certificats de primalité de Pocklington-Lehmer inconditionnels pour p=3m (m+1) +1p = 3m (m+1) +1 p = 3 m (m + 1) + 1 jusqu'à 30 000+30, 000^+ 30, 00 0 + chiffres décimaux, exploitant la structure entièrement factorisée de p−1p-1 p − 1 (Théorème 3. 2). Une asymptotique conditionnelle. Sous l'hypothèse de Bateman–Horn (H1) + GRH + une hypothèse d'uniformité jj j (H3), E∣q∣∣m=m/4⋅ (1+O ( (logm) 2/m) ) E|q| m = m/4 (1 + O ( (m) ²/m) ) E ∣ q ∣ ∣ m = m /4 ⋅ (1 + O ( (log m) 2 / m) ), prouvé en cinq étapes explicites (Proposition 9. 4). Un invariant de couche universel. Le rapport σ (Sm) /nm/12 ≈ 0, 63σ (S m) / √n m /12 ≈ 0, 63 est empiriquement stable pour m ∈ 1, 4500, remplaçant une affirmation antérieure (erronée) de variance constante. Cette valeur de 0, 63 reflète un facteur de compression de variance de 0, 40 par rapport au bruit blanc. Universalité empirique de C0 (k) =1/ (4k) C₀ (k) = 1/ (4k) C 0 (k) = 1/ (4 k) à 0, 02%0, 02\% 0, 02% près sur k∈3, 15, 21k \3, 15, 21\ k ∈ 3, 15, 21, avec une dérivation géométrique de l'heuristique de distribution uniforme de qq q. **Une carte à quatre niveaux de la connexion à ζ (s) (s) ζ (s): ** les zéros gouvernent les oscillations de couche (Niveau I, via la formule de Riemann-von Mangoldt) ; GRH ⇒ ⇒ C1 (Niveau II, heuristique) ; ∣qmin∣=Ok (mlog2m) |q_| = Oₖ (m ² m) ∣ q m i n ∣ = O k (m log 2 m) (Niveau III, rigoureux) ; et la connexion spectrale Q (r) ↔ζ (s) Q (r) (s) Q (r) ↔ ζ (s) est *décisivement exclue* (R2=1, 16×10−7R² = 1, 16 10^-7 R 2 = 1, 16 × 1 0 −7 à N=108N=10⁸ N = 1 0 8, trois tests de permutation). Trois résultats négatifs. Le biais ⟨q⟩≈+0, 4 q +0, 4 ⟨ q ⟩ ≈ + 0, 4 est un artefact de code ; trois conjectures antérieures (C1, C2, C3) sont corrigées ; l’exposant précédemment affirmé σ (X (r) ) ∼r0, 275 (X (r) ) r^0, 275 σ (X (r) ) ∼ r 0, 275 n’est pas confirmé à N=108N=10⁸ N = 1 0 8. Cinq problèmes ouverts (O1, O4, O5, O6, O7) sont énoncés précisément. Le problème O4 (preuve inconditionnelle de E∣q∣∣m=m/4E|q| m = m/4 E ∣ q ∣ ∣ m = m /4) est identifié comme équivalent à PNT dans les progressions arithmétiques de module ∼N1/2 N^1/2 ∼ N 1/2 sans excès logarithmique — strictement au-delà de l'hypothèse de renormalisation générale (GRH), à portée de la conjecture de corrélation par paires de Montgomery. MSC 2020: 11N32, 11N13, 11Y11, 11M41, 62P99. Mots-clés: nombres premiers, formes quadratiques, nombres hexagonaux centrés, conjecture de Bateman-Horn, équidistribution de Weyl, fonction zêta de Riemann, critère de Pocklington, GRH, constante de Hardy-Littlewood
HASSANE BAKKAOUI (Mon,) studied this question.