Representações integrais de quantidades associadas à função Gamma

Estudamos uma série de questões relacionadas com representações integrais de funções Gamma e seus quocientes. A base do nosso estudo são dois resultados clássicos na teoria das funções. Um deles é uma fórmula de Binet bem conhecida, o outro é uma fórmula de Malmsten menos conhecida. Essas fórmulas especiais expressam os valores da função Gamma em um semiplano direito aberto por meio de integrais impróprias correspondentes. Neste trabalho, mostramos que ambos os resultados podem ser estendidos para o eixo imaginário, exceto para o ponto = 0. Sob tal extensão, aplicamos vários métodos de análise real e complexa. Em particular, obtemos representações integrais para o argumento da quantidade complexa sendo o valor da função Gamma em um ponto puramente imaginário. Com base na mencionada fórmula de Malmsten nos pontos = 0 no semiplano direito fechado, fornecemos uma derivação detalhada da representação integral para um quociente especial expresso via função Gamma: () ( + 1 2 )/( + 1). Este fato no semi-eixo positivo foi mencionado sem prova em uma pequena nota de Duan Slavi em 1975. No mesmo trabalho, ele forneceu estimativas em ambos os lados para a quantidade () sendo > 0 e nos pontos naturais () coincidiram com o coeficiente binomial central normalizado. Essas estimativas significam que () é envolto no semi-eixo positivo por sua série assintótica.