Resumo: Construímos a equivalência geométrica de Satake para grupos redutivos quasi-divididos sobre campos locais não-arquimedianos, utilizando motivos étale de Artin–Tate com coeficientes Z[1/p]. Consideramos campos locais de característica igual e mista. Ao longo do caminho, ampliamos o trabalho de Gaussent–Littelmann sobre a conexão entre galerias LS e ciclos MV para o caso de grupos redutivos residualmente divididos. Como aplicação, generalizamos o isomorfismo integral de Satake de Zhu para álgebras de Hecke esféricas a grupos ramificados. Além disso, para grupos residualmente divididos, definimos álgebras de Hecke esféricas genéricas e construímos isomorfismos genéricos de Satake e Bernstein.
Thibaud Van Den Hove (Qua,) estudou esta questão.