Integração numérica ótima em uma esfera

Pouco foi publicado sobre este assunto ou sobre sua extensão à esfera sólida. A literatura é analisada brevemente na Seção 7. A maior parte do nosso espaço é dedicada a fórmulas invariantes em relação a um grupo finito de rotações da esfera. Estudamos essas fórmulas por meio dos caracteres do grupo, como faz Sobolev 12, 13. O critério pelo qual as fórmulas de integração são geralmente julgadas é o da eficiência. Ele é definido assim. Considere um sistema de funções sobre o domínio de integração, como polinômios no espaço euclidiano ou harmônicos de superfície na esfera. Eles têm propriedades de completude e estão ordenados de uma maneira natural. Suponha que a fórmula de integração seja exata para as primeiras L funções independentes e, portanto, para todas as combinações lineares delas. A eficiência E é a razão de L pelo número de constantes arbitrárias na fórmula. Esta última é um múltiplo fixo (um a mais do que a dimensionalidade do domínio de integração) do número N de pontos nos quais a função integranda é avaliada. Uma combinação linear de harmônicos de superfície (de grau não superior a p) será chamada de polinômio esférico (de grau p). Se escolhermos embutir a superfície da esfera no espaço euclidiano de três dimensões, encontramos que a marca deixada na superfície por um polinômio comum em x, y e z é um polinômio esférico do mesmo grau. Para a superfície da esfera, uma fórmula de integração de grau p (exata para polinômios esféricos de grau p) tem