Categorias de fusão trançadas, anomalias gravitacionais e a estrutura matemática para ordens topológicas em qualquer dimensão

Anomalias gravitacionais podem ser realizadas na fronteira de estados ordenados topologicamente em uma dimensão superior e são descritas por ordens topológicas em uma dimensão superior. Neste artigo, tentamos desenvolver uma teoria geral tanto para a ordem topológica quanto para a anomalia gravitacional em qualquer dimensão. (1) Introduzimos a noção de categoria BF para descrever as propriedades de trançagem e fusão de excitações topológicas que podem ser pontuais, em cordas, etc. Um subconjunto de categorias BF -- categorias BF fechadas -- classifica ordens topológicas em qualquer dimensão, enquanto categorias BF genéricas classificam ordens topológicas (potencialmente) anômalas que podem aparecer na fronteira de um líquido quântico gapado em uma dimensão superior. (2) Introduzimos um integral de caminho topológico baseado em rede de tensores para realizar essas ordens topológicas. (3) Ordens topológicas bosônicas têm um importante invariável topológico: os feixes vetoriais dos estados fundamentais degenerados sobre os espaços de moduli de espaços fechados com diferentes métricas. Eles podem caracterizar totalmente as ordens topológicas. (4) Conjecturamos que uma ordem topológica tem uma fronteira gapável se e somente se os feixes vetoriais mencionados acima são planos. (5) Encontramos um fenômeno holográfico em que toda ordem topológica com uma fronteira gapável pode ser determinada de forma única pelo conhecimento da fronteira. Como consequência, as categorias BF em diferentes dimensões formam um complexo cochain (monóide), que revela a estrutura e a relação de ordens topológicas e anomalias gravitacionais em diferentes dimensões. Também estudamos o tipo mais simples de ordens topológicas bosônicas que não têm excitações topológicas não triviais. Descobrimos que esse tipo de ordens topológicas forma uma classe Z em 2+1D (com borda sem gap), uma classe Z₂ em 4+1D (com borda gapável) e uma classe ZZ em 6+1D (com borda sem gap).