Álgebras de Lie de Campos Vetoriais e Aproximação Local de Conjuntos Atingíveis

Considere um sistema de controle analítico de n dimensões descrito por {dx / dt} = X (x) + u (t) Y (x), x (0) = p e deixe A (t, p) denotar o conjunto de estados atingíveis no tempo t pelo uso de todas as funções de controle admissíveis u, que tomamos como funções mensuráveis com valores |u (t) | 1. Nosso objetivo é derivar condições de segunda ordem para determinar se a solução de referência, (tX) (p), correspondente a u (t) 0, está na fronteira ou no interior de A (t, p) para pequenos t > 0. Se t₁ > 0 e p¹ = (t₁ X) (p), a abordagem é usar a fórmula de Campbell–Baker–Hausdorff para obter vetores tangentes de segunda ordem a A (t₁, p) em p¹. Estes envolvem elementos da álgebra de Lie gerada por X e Y tendo um número arbitrário de fatores X e dois fatores Y. Com certas hipóteses, para n = 2, 3 resultados relativamente completos são obtidos.