Um oscilador não linear com um atrator estranho

Resumo Estudamos o oscilador não linear ẍ + δẋ — βx + αx3 = f cos (ωt) (A) do ponto de vista qualitativo, concentrando-nos no comportamento bifurcacional que ocorre à medida que f 0 aumenta para α, β, δ, ω fixos 0. Em particular, estudamos a natureza global dos movimentos atrativos que surgem como resultado das bifurcações. Descobrimos que, para f pequenos e grandes, o comportamento é muito como esperado e que o teorema convencional de média de Krylov-Bogoliubov produz resultados aceitáveis. No entanto, para uma ampla gama de f moderados, surgem movimentos não periódicos extremamente complicados. Esses movimentos são chamados de atratores estranhos ou oscilações caóticas e foram detectados em estudos anteriores de o.d.e.s autônomas de dimensão 3. No caso presente, eles estão intimamente ligados a órbitas homoclínicas que surgem como resultado de bifurcações globais. Utilizamos resultados recentes de Mel’nikov e outros para provar que tais movimentos ocorrem em (A) e estudamos sua estrutura por meio do mapa de Poincaré associado a (A). Usando simulações em computadores analógicos e digitais, fornecemos uma caracterização bastante completa do atrator estranho que surge para f moderados. Este movimento ergódico surge naturalmente da equação diferencial determinística (A).