Estimativa adaptativa de uma funcional quadrática por seleção de modelos

Consideramos o problema de estimar \|s\|² quando s pertence a algum espaço de Hilbert separável e observa-se o processo gaussiano Y (t) =, t + (t), para todo t H, onde L é algum processo isonormal gaussiano. Este framework nos permite, em particular, considerar o clássico "modelo de sequência gaussiana" para o qual H = l₂ (N*) e L (t) = ₁t__, onde (_) ₁ é uma sequência de variáveis normais padrão i.i.d. Nossa abordagem consiste em considerar algumas famílias, no máximo contáveis, de subespaços lineares finito-dimensionais de H (os modelos) e então usar seleção de modelos via algum critério de mínimos quadrados convenientemente penalizado para construir novos estimadores de \|s\|². Provamos um limite de risco não assintótico geral que nos permite mostrar que tais estimadores penalizados são adaptativos em uma variedade de coleções de conjuntos para o parâmetro s, dependendo da família de modelos da qual são construídos. Em particular, no contexto do modelo de sequência gaussiana, uma escolha conveniente da família de modelos permite definir estimadores que são adaptativos sobre coleções de hiperetretângulos, elipsoides, corpos lₚ ou corpos de Besov. Temos um cuidado especial em descrever as condições sob as quais o estimador penalizado é eficiente quando o nível de ruído tende a zero. Nossa construção é uma alternativa à de Efroïmovich e Low para hiperetretângulos e fornece novos resultados caso contrário.