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Quando (X1, ¿1),. . . , (Xn, ¿n) são vetores aleatórios independentes e identicamente distribuídos de IRd X 0, 1 distribuídos como (X, ¿), e quando ¿ é estimado pela sua estimativa de vizinho mais próximo ¿ (1), então Cover e Hart mostraram que P¿ (1) ¿ ¿n ¿ ¿ ¿ 2E ¿ (X) (1 - ¿ (X) ) ¿ 2R* (1 - R*) onde R* é a probabilidade de erro de Bayes e ¿ (x) = P¿ = 1 | X = x. Eles têm condições sobre a distribuição de (X, ¿). Damos duas provas, uma devido a Stone e uma original curta, do mesmo resultado para todas as distribuições de (X, ¿). Se os empates forem cuidadosamente tratados, também mostramos que P¿ (1) ¿ ¿|X1, ¿1,. . . , Xn, ¿n converge em probabilidade para uma constante para todas as distribuições de (X, ¿), fortalecendo assim os resultados de Wagner e Fritz.
Luc Devroye (qui,) estudou essa questão.