Moment-Sos e Hierarquias Espectrais para Otimização Polinomial na Esfera e Teoremas Quantum de Finetti

Revisitamos a análise de convergência de duas hierarquias de aproximação para otimização polinomial na esfera unitária. A primeira é baseada na abordagem moment-sos e fornece limites semidefínios para os quais Fang e Fawzi (2021) mostraram uma análise em O(1/r²) para o limite de nível r, usando o método de núcleo polinomial. A segunda hierarquia foi proposta recentemente por Lovitz e Johnston (2023) e fornece limites espectrais para os quais eles mostram uma taxa de convergência em O(1/r), usando um teorema quantum de de Finetti de Christandl et al. (2007) que se aplica a matrizes hermitianas complexas com uma simetria "dupla." Investigamos ligações entre essas abordagens, em particular, através da dualidade de momentos e somas de quadrados. Nossos principais resultados incluem mostrar que os limites espectrais não podem ter uma taxa de convergência melhor que O(1/r²) e que eles não possuem convergência finita genérica. Além disso, propomos análises de desempenho alternativas que envolvem constantes explícitas dependendo de parâmetros intrínsecos do problema de otimização. Para isso, desenvolvemos um novo teorema de de Finetti "bandeado" que se aplica a matrizes reais com simetria "dupla." Também mostramos como usar o método de núcleo polinomial para obter um resultado do tipo de Finetti em O(1/r²) para matrizes reais maximalmente simétricas, melhorando um resultado anterior em O(1/r) de Doherty e Wehner (2012).