Taxas de convergência para aproximações de caos esparso de problemas elípticos com coeficientes estocásticos

Um problema escalar elíptico de valor de contorno na forma divergente com coeficiente de difusão estocástico a(x, ) em um domínio limitado D R d é reformulado como um problema determinístico, paramétrico e de dimensão infinita pela separação de variáveis determinísticas (x D) e estocásticas ( ) em a(x, ) via expansões de Karhnen-Love ou Legendre do coeficiente de difusão. Solucionadores determinísticos e aproximados são obtidos pela projeção deste problema em um espaço de probabilidade de produto de dimensão finita M e discretizações esparsas do resultado do problema paramétrico M-dimensional. Tanto aproximações de Galerkin quanto de colocação são consideradas. Sob suposições de regularidade sobre a flutuação de a(x, ) na variável determinística x, a taxa de convergência do algoritmo de solução determinística é analisada em termos do número N de problemas determinísticos a serem resolvidos, à medida que tanto a dimensão do caos M quanto o nível de multirresolução da discretização esparsa, respectivamente, o grau polinomial da expansão de caos aumentam simultaneamente.