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Focando no caso particular do grupo de simetria discreta Z₍Z₍, estabelecemos um mapeamento entre fases topológicas protegidas por simetria e fases quebradas por simetria para sistemas de spins unidimensionais. Isso é realizado em termos de uma transformação unitária não local que preserva a localidade do Hamiltoniano. Derivamos a imagem do mapeamento para várias fases envolvidas, incluindo aquelas com uma mistura de quebra de simetria e proteção topológica. Nossa análise também se aplica a fases topológicas em sistemas de spins com simetrias contínuas arbitrárias de tipo unitário, ortogonal e simplético. Isso é alcançado identificando subgrupos adequados Z₍Z₍ em todos esses grupos, juntamente com uma bijeção entre as classes individuais de representações projetivas.
Duivenvoorden et al. (Mon,) estudaram essa questão.