Produtos Diretos de Módulos

Introdução. É um resultado bem conhecido e básico da álgebra homológica que o produto direto de uma família arbitrária de módulos injetivos sobre qualquer anel é novamente injetivo 3, p. 8. Tal não é o caso para módulos projetivos, como é evidenciado, por exemplo, por um resultado de Baer 7, p. 48 que afirma que o produto direto de um número contável infinito de cópias do anel dos inteiros racionais não é um grupo abeliano livre. É, portanto, natural perguntar quais são as condições ideais-teóricas que são impostas a um anel pela exigência de que seus módulos projetivos sejam preservados por produtos diretos da maneira descrita. Neste artigo, apresentaremos uma solução para esse problema, bem como uma resposta à pergunta correspondente para módulos planos. Em seguida, exibimos várias aplicações desses resultados. Primeiro, derivamos informações sobre anéis semi-hereditários que, quando aplicadas a domínios integrais, imediatamente produzem caracterizações dos anéis de Prfer devido a Hattori 5 (ver também 6). A segunda aplicação também diz respeito a domínios integrais. Chamaremos um módulo de torsão sobre um domínio integral de módulo UT se for um componente direto de todo módulo - do qual é o submódulo de torsão. Provamos que, se todo módulo - de ordem limitada é um módulo UT, então deve ser um anel de Dedekind (o inverso é bem conhecido; veja 8, p. 334). Como aplicação final, obtemos uma solução parcial para a seguinte pergunta de Kthe 9: Para quais anéis é verdade que todo módulo - à esquerda é uma soma direta de módulos cíclicos? Provamos que, se possui a propriedade mais fraca de que todo módulo - à esquerda é uma soma direta de módulos gerados finitamente, então satisfaz a condição mínima sobre ideais à esquerda e todo módulo injetivo não decomponível à esquerda - tem comprimento finito. Isso generaliza um resultado de Kaplansky e Cohen 4. Nossas investigações ao longo dessas linhas foram motivadas até certo ponto pela observação interessante de Bass 2 de que anéis Noetherianos à esquerda são caracterizados pela propriedade de que seus módulos injetivos à esquerda são preservados por somas diretas. Incluímos, com sua gentil permissão, isso em nosso artigo, pois o utilizaremos na prova de outro resultado.