The minimization of Brown's energy bounds for the magnetostatic energy with the finite element method

Mikromagnetismus, als eine Brücke zwischen klassischer Kontinuumstheorie und quantenmechanischen Ansätzen, stellt ein wichtiges Werkzeug zur Analyse statischer magnetischer Energiegleichungen dar. Diese Arbeit befasst sich mit den rechnerischen Aspekten des Mikromagnetismus, vor allem mit der Minimierung der Gibbs’schen freien Energie in drei Dimensionen bezüglich der Magnetisierung unter Berücksichtigung einer nicht-linearen Einheitsnormbedingung innerhalb des magnetischen Gebiets. Der Fokus dieser Arbeit liegt auf der Optimierung mittels klassischer numerischer Verfahren, insbesondere auf gitterbasierten Diskretisierungsmethoden, wie der Finite Elemente Methode (FEM). Ein zentraler Aspekt besteht darin, Teile der totalen Energie, die sogenannte magnetostatische Streufeldenergie, durch eine von Brown eingeführte obere Schranke zu ersetzen, wodurch nichtlokale Effekte reduziert werden und die Optimierung vereinfacht wird. Diese Formulierung führt ein unabhängiges Vektorpotential ein, sodass die Zielfunktion von zwei dreidimensionalen Variablen abhängt. Eine detaillierte Darstellung der P1-FEM wird gegeben, einschließlich der Diskretisierung der Energieterme und der oberen Schranke sowohl in Bezug auf die Magnetisierung als auch auf das Vektorpotential. Die daraus resultierenden linearen Gleichungssysteme werden mit Varianten von Penalty-Verfahren, Augmented-Lagrange-Methoden und projizierten Konjugierte Gradienten Verfahren gelöst. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf dem Vergleich zwischen einer alternierenden Optimierungsstrategie und dem Ansatz, das Zielfunktional simultan bezüglich beider Variablen zu minimieren. Beide Methoden werden anhand von Benchmark-Problemen sowie einer Variante des NIST µMAG Standardproblem #3 getestet.