Matchings of the alternating sign triangle graph

Ayyer, Behrend und Fischer führten 2020 einen Graphen ein, dessen Matchings (die fast perfekt sind) mit alternierenden Vorzeichendreiecken (ASTs) auf dieselbe Weise in Verbindung stehen wie perfekte Matchings des Azteken-Graphen mit alternierenden Vorzeichenmatrizen (ASMs). Sie zeigten, dass es gleich viele ASTs wie ASMs gibt, und dass dasselbe für die zugehörigen Matchings gilt. Hier arbeiten wir hin auf eine elementare Abzählung der Matchings, die mit ASTs in Verbindung stehen, vor allem indem wir bekannte Methoden verallgemeinern. Insbesondere geben wir eine Verallgemeinerung von Ciucus Theorem über perfekte Matchings von zellulären Graphen an, wir finden einen gemeinsamen Rahmen für verschiedene bekannte Bijektionen zwischen Matchings und Pfadfamilien, wir verallgemeinern die planare Version des Lindström-Gessel-Viennot Lemmas, wir verknüpfen Operationen auf gerichteten Graphen mit Operationen auf Matrizen, die deren Pfadanzahlen beinhalten, wir behandeln umfassend Anzahlen von Schröder-Pfaden (die auch über der x-Achse starten und enden dürfen), und wir drücken Summen von Minoren als Pfaffsche Formen einzelner Matrizen aus (Okada folgend, aber mit einer Abwandlung ähnlich wie Ishikawa und Wakayama). Als Ergebnis wird die gesuchte Anzahl als Determinante relativ einfacher Matrizen ausgedrückt.