Sobre a estabilidade ótima da base de Bernstein

Mostramos que a base polinomial de Bernstein em um dado intervalo é “otimamente estável”, no sentido de que nenhuma outra base não negativa produz sistematicamente números condicionais menores para os valores ou raízes de polinômios arbitrários nesse intervalo. Este resultado decorre de uma ordenação parcial do conjunto de todas as bases não negativas que é induzida por transformações de bases não negativas. Mostramos ainda, por meio de alguns exemplos de baixo grau, que a forma de Bernstein não é exclusivamente ótima nesse aspecto. No entanto, é a única base otimamente estável cujos elementos não têm raízes no interior do intervalo escolhido. Essas ideias são ilustradas comparando as propriedades de estabilidade das bases de potência, Bernstein e Ball generalizadas.