Sum-rule validation of the intermediate spectral window in and its impact on kappa

Abstract (English) In a companion manuscript in this series, the long-distance contribution kappaLD (rLD) to the nonlocal QCD-induced gravitational functional was computed by choosing rLD = 2. 62 fm so as to exponentially suppress energies sqrt (s) ≳ 1 GeV. The only ingredient not directly constrained by data in that approach is the spectral density rhoTheta (s) in the intermediate resonant region (about 1. 2–2. 2 GeV), where scalar resonances and a continuum were modeled. Here we close that gap with an external constraint: finite-energy sum rules (FESR) for the correlator. We implement the theoretical side at pQCD N3LO order in MS-bar and add the dominant power corrections (dimension 4 with G² about 0. 012 GeV⁴ and an effective dimension-6 term fitted as a function of s₀). The FESR constrain the continuum fraction wcont in the 1. 2–2. 2 GeV window and, after propagating that band to kappa, we obtain an energy-window contribution kappaEwin (rLD = 2. 62 fm) about (0. 66 ± 0. 02) × 10^-3, with a conservative envelope of a few × 10^-4 under variations of the resonant ansatz. This piece represents about 0. 15% of kappaQCD and its variation changes kappaₜotal by less than about 4 × 10^-5. In addition, we consistently propagate the convention systematic associated with fₚi/Fₚi: using Fₚi = 92. 2 MeV instead of 92. 07 MeV shifts mu_* by about 0. 09% and kappa by about 0. 56%, a subdominant effect relative to the current hadronic budget but relevant at the sub-percent level. Adding kappaₗow (2. 62 fm) = 0. 43914 and the dominant inelastic correction delta kappa₊ ₊₁₀ₑ = +0. 00950 ± 0. 00061, one obtains kappaₜotalQCD = 0. 449163 with an uncertainty dominated by the inherited IR budget. We also present independent UV tests: in the band r in 0. 15, 0. 35 fm, the position-space correlator C (r) from the extended dispersive construction agrees with Zoller’s OPE at the 1–7% level, and the dominant coefficients of local terms (A₀–A₂) agree to ≤ 5% after RG improvement (mu about xi/r with xi about 3). Resumen (Español) En un manuscrito complementario de esta serie se calculó la contribución de larga distancia kappaLD (rLD) al funcional gravitatorio no local inducido por QCD, eligiendo rLD = 2. 62 fm para suprimir de forma exponencial las energías sqrt (s) ≳ 1 GeV. El único ingrediente no directamente constreñido por datos en ese enfoque es la densidad espectral rhoTheta (s) en la región resonante intermedia (aproximadamente 1. 2–2. 2 GeV), donde se modelaron resonancias escalares y un continuo. Aquí cerramos ese hueco con un constraint externo: sum rules de energía finita (FESR) para el correlador. Implementamos el lado teórico a orden pQCD N3LO en MS-bar y añadimos las correcciones de potencia dominantes (dimensión 4 con G² aproximadamente 0. 012 GeV⁴ y un término efectivo de dimensión 6 ajustado como función de s₀). Las FESR restringen la fracción de continuo wcont en la ventana 1. 2–2. 2 GeV y, propagando esa banda a kappa, obtenemos una contribución de ventana energética kappaEwin (rLD = 2. 62 fm) aproximadamente (0. 66 ± 0. 02) × 10^-3, con un envolvente conservador de unos pocos × 10^-4 al variar el ansatz resonante. Esta pieza representa aproximadamente 0. 15% de kappaQCD y su variación cambia kappaₜotal en menos de aproximadamente 4 × 10^-5. Además, propagamos de forma coherente la sistemática de convención asociada a fₚi/Fₚi: usar Fₚi = 92. 2 MeV en lugar de 92. 07 MeV desplaza mu_* en aproximadamente 0. 09% y kappa en aproximadamente 0. 56%, efecto subdominante frente al presupuesto hadrónico actual pero relevante al sub-porciento. Sumando kappaₗow (2. 62 fm) = 0. 43914 y la corrección inelástica dominante delta kappa₊ ₊₁₀ₑ = +0. 00950 ± 0. 00061, se obtiene kappaₜotalQCD = 0. 449163 con una incertidumbre dominada por el presupuesto IR heredado. Además, mostramos tests UV independientes: en la banda r in 0. 15, 0. 35 fm, el correlador en espacio de posiciones C (r) de la construcción dispersiva extendida coincide con la OPE de Zoller al nivel de 1–7%, y los coeficientes dominantes de términos locales (A₀–A₂) concuerdan a ≤ 5% tras RG improvement (mu aproximadamente xi/r con xi aproximadamente 3).