Sum-rule validation of the intermediate spectral window in and its impact on kappa

Abstract (English) In a companion manuscript in this series, the long-distance contribution kappa_LD(r_LD) to the nonlocal QCD-induced gravitational functional was computed by choosing r_LD = 2.62 fm so as to exponentially suppress energies sqrt(s) ≳ 1 GeV. The only ingredient not directly constrained by data in that approach is the spectral density rho_Theta(s) in the intermediate resonant region (about 1.2–2.2 GeV), where scalar resonances and a continuum were modeled. Here we close that gap with an external constraint: finite-energy sum rules (FESR) for the correlator <Theta Theta>. We implement the theoretical side at pQCD N3LO order in MS-bar and add the dominant power corrections (dimension 4 with G^2 about 0.012 GeV^4 and an effective dimension-6 term fitted as a function of s_0). The FESR constrain the continuum fraction w_cont in the 1.2–2.2 GeV window and, after propagating that band to kappa, we obtain an energy-window contribution kappa_Ewin(r_LD = 2.62 fm) about (0.66 ± 0.02) × 10^-3, with a conservative envelope of a few × 10^-4 under variations of the resonant ansatz. This piece represents about 0.15% of kappa_QCD and its variation changes kappa_total by less than about 4 × 10^-5. In addition, we consistently propagate the convention systematic associated with f_pi/F_pi: using F_pi = 92.2 MeV instead of 92.07 MeV shifts mu_* by about 0.09% and kappa by about 0.56%, a subdominant effect relative to the current hadronic budget but relevant at the sub-percent level. Adding kappa_low(2.62 fm) = 0.43914 and the dominant inelastic correction delta kappaK Kbar = +0.00950 ± 0.00061, one obtains kappa_total^QCD = 0.449163 with an uncertainty dominated by the inherited IR budget. We also present independent UV tests: in the band r in [0.15, 0.35] fm, the position-space correlator C(r) from the extended dispersive construction agrees with Zoller’s OPE at the 1–7% level, and the dominant coefficients of local terms (A_0–A_2) agree to ≤ 5% after RG improvement (mu about xi/r with xi about 3). Resumen (Español) En un manuscrito complementario de esta serie se calculó la contribución de larga distancia kappa_LD(r_LD) al funcional gravitatorio no local inducido por QCD, eligiendo r_LD = 2.62 fm para suprimir de forma exponencial las energías sqrt(s) ≳ 1 GeV. El único ingrediente no directamente constreñido por datos en ese enfoque es la densidad espectral rho_Theta(s) en la región resonante intermedia (aproximadamente 1.2–2.2 GeV), donde se modelaron resonancias escalares y un continuo. Aquí cerramos ese hueco con un constraint externo: sum rules de energía finita (FESR) para el correlador <Theta Theta>. Implementamos el lado teórico a orden pQCD N3LO en MS-bar y añadimos las correcciones de potencia dominantes (dimensión 4 con G^2 aproximadamente 0.012 GeV^4 y un término efectivo de dimensión 6 ajustado como función de s_0). Las FESR restringen la fracción de continuo w_cont en la ventana 1.2–2.2 GeV y, propagando esa banda a kappa, obtenemos una contribución de ventana energética kappa_Ewin(r_LD = 2.62 fm) aproximadamente (0.66 ± 0.02) × 10^-3, con un envolvente conservador de unos pocos × 10^-4 al variar el ansatz resonante. Esta pieza representa aproximadamente 0.15% de kappa_QCD y su variación cambia kappa_total en menos de aproximadamente 4 × 10^-5. Además, propagamos de forma coherente la sistemática de convención asociada a f_pi/F_pi: usar F_pi = 92.2 MeV en lugar de 92.07 MeV desplaza mu_* en aproximadamente 0.09% y kappa en aproximadamente 0.56%, efecto subdominante frente al presupuesto hadrónico actual pero relevante al sub-porciento. Sumando kappa_low(2.62 fm) = 0.43914 y la corrección inelástica dominante delta kappaK Kbar = +0.00950 ± 0.00061, se obtiene kappa_total^QCD = 0.449163 con una incertidumbre dominada por el presupuesto IR heredado. Además, mostramos tests UV independientes: en la banda r in [0.15, 0.35] fm, el correlador en espacio de posiciones C(r) de la construcción dispersiva extendida coincide con la OPE de Zoller al nivel de 1–7%, y los coeficientes dominantes de términos locales (A_0–A_2) concuerdan a ≤ 5% tras RG improvement (mu aproximadamente xi/r con xi aproximadamente 3).