Quasi-static formalization of the external-field effect from the derived mu_dS and refined application to NGC 1052-DF2 and NGC 1052-DF4

Abstract (English) This series derived the interpolating function mu(x) = x/(1 + x) and its curved version mu_dS, and Paper O closed the isolated quasi-static sector with a minimal AQUAL/QUMOND-type completion. Here we extend that closure to bound systems immersed in an external environment through the same functional F(X), a constant-background shift, and a spherical Jeans solver with constant and radially varying anisotropy. For NGC 1052-DF2 we incorporate a Sersic tracer with n = 0.6, geometry rescaling consistent with distance, an observational range for the baryonic mass of NGC 1052, M_h = (1, 1.5, 2) x 10^11 M_sun, and a smooth beta(r) family. The isolated case remains too high, 18.7-25.5 km s^-1, but the EFE band over the full grid of distances, host masses, and geometries drops to 9.8-17.5 km s^-1; on the nearby branch, D = 16.2 Mpc, and for M_h = (1.5-2.0) x 10^11 M_sun, the projected geometry gives 9.8-12.0 km s^-1, while an exploratory 60 kpc lower envelope reaches 9.6-11.7 km s^-1. For NGC 1052-DF4, an explicit environmental treatment with NGC 1052 and NGC 1035 lowers the prediction to 10.0-11.5 km s^-1 in the most favorable projected aligned case, still above the colder fiducial branch. The main result is twofold: the bridge mu_dS -> EFE is formalized within the framework itself and, for DF2, the combination of host mass and distance-consistent geometry dominates the decrease in the velocity dispersion. Resumen (Español) En esta serie se derivaron la interpolante mu(x) = x/(1 + x) y su versión curvada mu_dS, y Paper O cerró el sector cuasiestático aislado con una completación mínima tipo AQUAL/QUMOND. Aquí extendemos ese cierre a sistemas ligados inmersos en un entorno externo mediante el mismo funcional F(X), un corrimiento por campo de fondo constante y un solver esférico de Jeans con anisotropía constante y radial variable. Para NGC 1052-DF2 incorporamos un trazador de Sersic con n = 0.6, reescalado geométrico coherente con la distancia, un rango observacional para la masa bariónica de NGC 1052, M_h = (1, 1.5, 2) x 10^11 M_sun, y una familia suave beta(r). El caso aislado sigue siendo demasiado alto, 18.7-25.5 km s^-1, pero la banda EFE sobre la malla completa de distancias, masas anfitrionas y geometrías baja a 9.8-17.5 km s^-1; en la rama cercana, D = 16.2 Mpc, y para M_h = (1.5-2.0) x 10^11 M_sun, la geometría proyectada da 9.8-12.0 km s^-1, mientras que una envolvente exploratoria de 60 kpc lleva a 9.6-11.7 km s^-1. Para NGC 1052-DF4, un tratamiento ambiental explícito con NGC 1052 y NGC 1035 reduce la predicción hasta 10.0-11.5 km s^-1 en el caso proyectado alineado más favorable, todavía por encima de la rama fiducial más fría. El resultado principal es doble: el puente mu_dS -> EFE queda formalizado dentro del propio framework y, en DF2, la combinación de masa anfitriona y geometría coherente con la distancia domina el descenso de la dispersión.