Tensoriales Modell der scherähnlichen Deformation in höherdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten und deren Anwendungen

Zusammenfassung: Schertransformationen sind grundlegend für die Modellierung von Deformationen in flachen Räumen, doch klassische Formulierungen versagen in gekrümmten Mannigfaltigkeiten, wo Krümmung und Topologie intrinsische Einschränkungen auferlegen. Viele reale Systeme, wie planetare Atmosphären, elastische Schalen und biologische Membranen, zeigen Deformationen in nicht-euklidischen Umgebungen, wo traditionelle Scherkräfte keine natürliche Definition haben. Diese Arbeit entwickelt ein einheitliches, koordinateninvariantes Rahmenwerk für scherähnliche Deformationen auf Riemannschen und Lorentzschen Mannigfaltigkeiten. Ausgehend von einer vektorfeldgetriebenen Scherung auf der zweidimensionalen Sphäre analysieren wir deren Geometrie mithilfe des Jakobi und erweitern dieses Konzept durch die Anwendung eines tensorialen Verzerrungsmodells, das aus kovarianten Ableitungen und Lie-Ableitungen des Metrik abgeleitet wird. Die resultierende Formulierung offenbart grundlegende Verbindungen zwischen der Verzerrungsentwicklung, parallelem Transport und Holonomie. Die Anwendungen erstrecken sich über mehrere Bereiche: (i) in der Allgemeinen Relativitätstheorie stellen wir fest, wie die Verzerrungsentwicklung mit dem Riemann-Tensor gekoppelt ist, was die Gezeitenkräfte, die geodätische Abweichung und die Effekte des Gravitationswellenspeichers verbindet; (ii) in elastischen Membranen berechnen wir explizite Verzerrungskomponenten für ein Scherfeld auf S2 und überprüfen die Kompatibilitätsbedingungen unter Krümmung und Torsion, was geometrische Frustration aufdeckt; und (iii) in atmosphärischen und geologischen Strömungen verwenden wir den Deformationsgradienten, den Viola-Transform und den dreidimensionalen Einstein-Tensor, um krümmungsinduzierte Spannungen und großräumige Strömungsdynamik zu modellieren. Dieses Rahmenwerk verbindet Differentialgeometrie, Kontinuumsmechanik und physikalische Modellierung und bietet neue Werkzeuge zum Verständnis von Deformationen in gekrümmten Räumen sowie Vorhersagen für sowohl astrophysikalische als auch geophysikalische Systeme.