Das Lösen von Zellproblemen in der Homogenisierung ist schwierig, und verfügbare Deep-Learning-Frameworks können nicht mit der Geschwindigkeit und Allgemeinheit traditioneller rechnerischer Frameworks mithalten. Noch wichtiger ist, dass es im Allgemeinen unklar ist, was von Machine-Learning-Ansätzen zu erwarten ist, geschweige denn welche Ansätze vielversprechend sind. In der vorliegenden Arbeit befürworten wir Fourier-Neurale Operatoren (FNOs) für Mikromechanik und stärken sie durch Erkenntnisse aus rechnerischen Mikromechanikmethoden, die auf der schnellen Fourier-Transformation (FFT) basieren. Wir konstruieren einen FNO-Proxy, der das grundlegende Schema imitiert, das für FFT-basierte Methoden grundlegend ist, und zeigen, dass der resultierende Operator Lösungen für Zellprobleme mit beliebiger Steifigkeitsverteilung nur unter der Bedingung eines Materialkontrasts bis zu einer gewünschten Genauigkeit vorhersagt. Insbesondere gibt es keine Einschränkungen hinsichtlich der Materialsymmetrie wie Isotropie, hinsichtlich der Anzahl der Phasen und hinsichtlich der Geometrie der Grenzflächen zwischen Materialien. Außerdem ist die gebotene Genauigkeit scharf und einheitlich und bietet explizite Garantien, die unser physikalisches Empowerment von FNOs nutzen. Um die gewünschte universelle Näherungseigenschaft zu zeigen, konstruieren wir einen FNO, der zu Beginn kein Training erfordert. Dennoch erfüllt der erhaltene neuronale Operator die gleichen Speicheranforderungen wie das Grundschema und hat Laufzeiten, die proportional zu klassischen FFT-Lösern sind. Insbesondere werden groß angelegte Probleme mit mehr als 100 Millionen Voxel problemlos bewältigt. Das Ziel dieser Arbeit ist es, das Potenzial von FNOs zur Lösung mikromechanischer Probleme zu unterstreichen und FFT-basierte Methoden mit FNOs zu verknüpfen. Diese Verbindung wird voraussichtlich einen fruchtbaren Austausch zwischen beiden Welten ermöglichen.
Nguyen et al. (Wed,) untersuchten diese Frage.