Überprüfung der Konvergenzgeschwindigkeit normaler Extremwerte

Sei (Xᵢ) ₁ ₈ ₍ eine unabhängige und identisch verteilte (i.i.d.) standardmäßige gaußsche Zufallsvariable, und sei X (₍) = ₁ ₈ ₍ Xᵢ das maximale Ordnungsstatistik. Es ist bekannt in der Theorie der Extremwerte, dass das linear normierte Maximum Yₙ = aₙ (X (₍) - bₙ) schwach zur standardmäßigen Gumbel-Verteilung Λ konvergiert, während n, wobei aₙ > 0 und bₙ geeignete Skalierungs- und Zentrierungs-Konstanten sind. In dieser Note, indem wir aₙ=2 n und bₙ = 2 n - n + (4π) 2 2 n wählen, liefern wir die genaue Ordnung dieser Konvergenz unter mehreren Distanzen, einschließlich der Berry-Esseen-Grenze, W₁-Distanz, totaler Variationsdistanz, Kullback-Leibler-Divergenz und Fisher-Information. Wir zeigen auch, wie die Ordnungen dieser Konvergenz durch die Wahl von bₙ und aₙ beeinflusst werden.