Grobe Alexander-Dualität für Paare und Anwendungen

Für eine Gruppe G (vom Typ F), die richtig auf einem groben Poincaré-Dualitätsraum X wirkt, führten Kapovich-Kleiner eine grobe Version der Alexander-Dualität zwischen G und ihrem Komplement in X ein. Genauer gesagt, ist die Kohomologie von G mit Koeffizienten in einem Gruppering dual zu einer bestimmten Cech-Homologiegruppe der Familie von zunehmenden Nachbarschaften eines G-Orbits in X. Diese Dualität gilt allgemeiner für grobe Einbettungen bestimmter zusammenziehbarer simplicialer Komplexe in grobe PD(n)-Räume. In diesem Papier führen wir eine relative Version dieser Cech-Homologie ein, die das Eilenberg-Steenrod-Genauigkeitsaxiom erfüllt, und beweisen eine relative Version der groben Alexander-Dualität. Als Anwendung liefern wir einen detaillierten Beweis des folgenden Ergebnisses, das erstmals von Kapovich-Kleiner formuliert wurde. Gegeben ist ein 2-Komplex, der durch das Verkleben von k Halbebenen entlang ihrer Begrenzungslinien gebildet wird, und eine grobe Einbettung in eine zusammenziehbare 3-Mannigfaltigkeit, besteht das Komplement aus k tiefen Komponenten, die zyklisch in einem Muster angeordnet sind, das als Jordanzyklus bezeichnet wird. Wir verwenden den Jordanzyklus als Invarianz zur Beweisführung der Existenz einer 3-Mannigfaltigkeitsgruppe, die virtuell Kleinianisch, aber nicht selbst Kleinianisch ist.