Bedingte Erwartungen gegeben der Summe unabhängiger Zufallsvariablen mit regelmäßig variierenden Dichten

Zusammenfassung Die bedingte Erwartung mₗ (s) =EX|S=s, wobei X und Y zwei unabhängige Zufallsvariablen sind mit S=X+Y, spielt eine Schlüsselrolle in verschiedenen aktuarwissenschaftlichen Anwendungen. Beispielsweise bestimmt die bedingte mittlere Risikoanteilsregel mX (s) den Beitrag des Agents, der das Risiko X hält, zu einem Risiko-Pool. Es ist auch eine relevante Funktion im Kontext des Risikomanagements, zum Beispiel bei der Berücksichtigung von Prinzipien der natürlichen Kapitalallokation. Die Monotonie von mX (\!\!) ist unter diesen Rahmenbedingungen besonders signifikant, und sie wurde seit Efron (1965) mit log-konvexen Dichten in Verbindung gebracht. Die Annahme der Log-Konvexität könnte jedoch in einigen Anwendungen nicht realistisch sein, da sie schwer-tailed Verteilungen ausschließt. Wir betrachten Zufallsvariablen mit regelmäßig variierenden Dichten, um zu veranschaulichen, wie schwere Schwänze zu einem nicht-monotonen Verhalten von mX (\!\!) führen können. Ziel dieses Papiers ist es zunächst, Situationen zu identifizieren, in denen mX (\!\!) möglicherweise nicht ansteigend ist, je nach der Schwere der Schwänze von X und Y. Zweitens zielt das Papier darauf ab, das asymptotische Verhalten von mX (s) zu untersuchen, wenn der Wert s der Summe groß wird. Die Analyse wird dann auf null-augmentierte Wahrscheinlichkeitsverteilungen ausgeweitet, die häufig in Versicherungsanwendungen vorkommen, sowie auf Summen von mehr als zwei Zufallsvariablen und auf zwei Zufallsvariablen mit einer Farlie–Gumbel–Morgenstern-Kopula. Konsequenzen für Risikoteilung und Kapitalallokation werden diskutiert. Viele numerische Beispiele veranschaulichen die Ergebnisse.