Finite-Elemente-Formulierungen für das Eigenwertproblem von Maxwell unter Verwendung kontinuierlicher Lagrangian-Interpolation

Zusammenfassung Wir betrachten knotenbasierte Lagrangian-Interpolationen für die Finite-Elemente-Näherung des Maxwell-Eigenwertproblems. Der erste Ansatz ist eine standardmäßige Galerkin-Methode auf Powell-Sabin-Gittern, die kürzlich als konvergente Näherungen in zwei Dimensionen nachgewiesen wurde, während die beiden anderen stabilisierte Formulierungen sind, die durch einen variationalen Multiskalenansatz motiviert werden können. Für letztere wird eine gemischte Formulierung verwendet, die dem ursprünglichen Problem entspricht, in der der Operator eine Sattelpunktstruktur hat. Der Lagrange-Multiplikator, der zur Durchsetzung der Divergenzbedingung eingeführt wird, verschwindet in einem geeigneten funktionalen Rahmen. Die erste stabilisierte Methode besteht aus einer erweiterten Formulierung, die einen gitterabhängigen Term umfasst, der als der Laplace-Operator des Multiplikators der Divergenzbedingung betrachtet werden kann. Die zweite Formulierung basiert auf orthogonalen Projektionen, die als eine residualbasierte Stabilisierungstechnik umformuliert werden können. Wir stützen uns auf die klassische Spektraltheorie, um die Näherungsverfahren für das Eigenproblem zu analysieren. Die Stabilitäts- und Konvergenzaspekte werden von den zugehörigen Quellproblemen geerbt, zusammen mit einer Annahme, die numerisch diskutiert wird. Wir untersuchen die Leistung der vorgeschlagenen Formulierungen und bieten einige Konvergenzresultate an, die die theoretischen Ergebnisse für mehrere Benchmark-Tests validieren, einschließlich solcher mit glatten und singulären Lösungen.