Über die maximale Ausdehnung von planaren und äußeren Planaren Grafen

Die Ausdehnung eines Graphen G ist die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten Eigenwert der Adjazenzmatrix von G. Gotshall, O'Brien und Tait vermuteten, dass für ausreichend großes n der n-Ecken äußere planare Graph mit maximaler Ausdehnung der Graph ist, der entsteht, indem ein Eckpunkt mit einem Pfad von n-1 Ecken verbunden wird. In diesem Papier widerlegen wir diese Vermutung, indem wir zeigen, dass der extremale Graph der Graph ist, der entsteht, indem ein Eckpunkt mit einem Pfad von (2n-1) /3 Ecken und (n-2) /3 isolierten Ecken verbunden wird. Für planare Grafen zeigen wir, dass der extremale n-Ecken planare Graph, der die maximale Ausdehnung erreicht, der Graph ist, der entsteht, indem zwei nicht benachbarte Ecken mit einem Pfad von (2n-2) /3 Ecken und (n-4) /3 isolierten Ecken verbunden werden.