Symbolische erweiterte dynamische Moduszerlegung

In diesem Papier präsentieren wir eine neue Methode zur Durchführung der erweiterten dynamischen Moduszerlegung (EDMD) an Systemen, die eine symbolische Darstellung zulassen. EDMD generiert Schätzungen des Koopman-Operators, K, für ein dynamisches System, indem ein Wörterbuch von Beobachtungen im Raum definiert und eine Schätzung, Km, produziert wird, die darauf beschränkt ist, invariant auf dem Erzeugungsraum dieses Wörterbuchs zu sein. Eine zentrale Frage für die EDMD ist, wie das Wörterbuch beschaffen sein sollte. Wir betrachten eine Klasse chaotischer dynamischer Systeme mit einer bekannten oder schätzbaren Erzeugungsteilung. Für diese Systeme konstruieren wir ein effektives Wörterbuch aus Indikatoren der "Zylindermengen", die beim Definieren des "symbolischen Systems" aus der Erzeugungsteilung entstehen. Wir beweisen die starke Konvergenz in der Operatoren-Topologie sowohl für die Projektion auf den Spann unseres Wörterbuchs als auch für Km. Darüber hinaus beweisen wir praktische Schätzgrenzen für die Projektion und Km in endlichen Schritten. Schließlich demonstrieren wir einige numerische Ergebnisse zur Eigenwertspektrumschätzung und Vorhersage, die auf die dyadische Abbildung und die logistische Abbildung angewendet werden.