Generalisierte Dynamik und Generationszuordnung für Collatz-ähnliche Folgen

Sei eine ungerade ganze Zahl X dargestellt als ₌ ₌ 2M + 2ᵐ - 1 für m 1, wobei 2ᵐ - 1 als der Gouverneur bezeichnet wird. Die allgemeine Dynamik ist so beschaffen, dass die wiederholte Anwendung der Collatz-ähnlichen Funktion zu ₍ ₁ 2N + 2^T - 1 führt, wobei 2^T - 1 als der triviale Gouverneur bezeichnet wird. Für die 3Z + 1-Folge ist der triviale Gouverneur 2¹ - 1, während für die 5Z + 1-Folge die trivialen Gouverneure 2² - 1 und 2¹ - 1 sind. Es wird gezeigt, dass X, um in einer Collatz-ähnlichen Folge wieder aufzutauchen, der triviale Gouverneur sein muss. Insbesondere zeigt die Vorfahrenzuordnung in der 3Z + 1-Folge, dass ungerade ganze Zahlen in einem sich wiederholenden Zyklus durch zwei gerade ganze Zahlen getrennt sind. Die Nachfolgerzuordnung weist weiter darauf hin, dass es keine Hilfzyklen gibt, da der triviale Gouverneur in einen Gouverneur mit einem anderen Index transformiert wird. Ähnlich zeigt die Nachfolgerzuordnung in der 5Z + 1-Folge, dass die kleinsten ungeraden Zahlen, die einen Hilfzyklus bilden, zwischen 2² und 2⁵ gefunden werden. Schließlich deuten Versuche, ganze Zahlen zu konstruieren, die in der 3Z + 1-Folge divergieren, darauf hin, dass keine solchen Zahlen existieren.