Über die Differentialgeometrie nichtdegenerierter CR-Manifolde

In diesem Papier betrachten wir eine nichtdegenerierte CR-Mannigfaltigkeit (M, H (M), J) mit einer gegebenen pseudo-hermitischen 1-Form und statten die CR-Verteilung H (M) mit einer beliebigen hermitischen Metrik h anstelle der Levi-Form L aus. Dies induziert eine natürliche riemannsche Metrik g₇ auf M, die mit der Struktur kompatibel ist. Das synthetische Objekt (M, , J, h) wird als pseudo-hermitische Mannigfaltigkeit bezeichnet, was die übliche Auffassung einer pseudo-hermitischen Mannigfaltigkeit (M, , J, L) in der Literatur verallgemeinert. Unser Ziel ist es, den differentialgeometrischen Aspekt pseudo-hermitischer Mannigfaltigkeiten zu untersuchen. Indem wir die hermitische Geometrie imitieren, finden wir eine kanonische Verbindung auf (M, , J, h), die die Tanaka-Webster-Verbindung auf (M, , J, L) verallgemeinert. Wir definieren die pseudo-Kähler 2-Form durch g₇ und J; und führen den Begriff einer pseudo-Kähler-Mannigfaltigkeit ein, der ein Analogon zu einer Kähler-Mannigfaltigkeit ist. Es stellt sich heraus, dass (M, , J, L) pseudo-Kähler ist. Mit Hilfe der Strukturgleichungen der kanonischen Verbindung leiten wir einige Krümmungs- und Torsions Eigenschaften einer pseudo-hermitischen Mannigfaltigkeit ab, insbesondere einer pseudo-Kähler-Mannigfaltigkeit. Dann werden einige bekannte Ergebnisse der riemannischen Geometrie auf den pseudo-hermitischen Fall verallgemeinert. Diese Ergebnisse beinhalten einige Resultate vom Typ Cartan. Als Anwendung geben wir einen neuen Beweis für die Klassifikation von Sasakian-Raumformen.