Barr-Kohärentheit für metrisch kompakte Hausdorffräume

Kompakte metrische Räume bilden eine wichtige Klasse von metrischen Räumen, aber die Kategorie, die sie definieren, weist viele wichtige Eigenschaften wie Vollständigkeit und Kofullständigkeit auf. In jüngsten Studien zur "metrischen Bereichstheorie" und Stone-ähnlichen Dualitäten ist das allgemeinere Konzept eines (getrennten) metrisch kompakten Hausdorffraums als metrisches Pendant zu Nachbins kompakten geordneten Räumen entstanden. Grob gesagt ist ein metrisch kompakter Hausdorffraum ein metrischer Raum, der mit einer kompatiblen kompakten Hausdorff-Topologie ausgestattet ist (die nicht die induzierte Topologie sein muss). Diese Räume bewahren viele wichtige Merkmale kompakter metrischer Räume, und insbesondere ist die resultierende Kategorie viel besser benommen. Darüber hinaus kann man Inspiration aus der Theorie von Nachbins kompakten geordneten Räumen nutzen, um Probleme für metrische Strukturen zu lösen. In diesem Papier setzen wir diese Forschungsrichtung fort: In der Kategorie der getrennten metrisch kompakten Hausdorffräume charakterisieren wir die regulären Monomorphismen als Einbettungen und die Epimorphismen als surjektive Morphismen. Darüber hinaus zeigen wir, dass Epimorphismen aus einem Objekt X intern über ihre Kernelmetriken kodiert werden können, die als die kontinuierlichen Metriken unter der Metrik auf X charakterisiert werden; dies bietet einen praktischen Weg, Quotientenobjekte darzustellen. Schließlich beweisen wir als Hauptergebnis, dass seine duale Kategorie einen algebraischen Charakter hat: sie ist Barr-exakt. Während wir zeigen, dass sie keine Sorte von finitären Algebren sein kann, bleibt offen, ob es sich um eine infinitäre Sorte handelt.