Gabriels Problem für harmonische Hardy-Räume

Wir erhalten Ungleichungen der Form C |f (z) |ᵖ |dz| A (p) ₓ |f (z) |ᵖ |dz|, (p>1), wobei f harmonisch im Einheitskreis D ist, T der Einheitskreis ist und C eine beliebige konvexe Kurve in D ist. Solche Ungleichungen wurden ursprünglich von R. M. Gabriel in Proc. London Math. Soc. 28 (2), 1928 für analytische Funktionen untersucht. Wir zeigen, dass diese Ergebnisse, im Gegensatz zu dem Fall der analytischen Funktionen, im Allgemeinen nicht für 0 < p < 1 wahr sein können. Daher produzieren wir eine Ungleichung eines leicht anderen Typs, die den Fall 0 < p < 1 behandelt. Ein Beispiel wird gegeben, um zu zeigen, dass dieses Ergebnis "bestmöglich" ist, im Sinne, dass eine Erweiterung auf p = 1 fehlschlägt. Dann betrachten wir den Sonderfall, wenn C ein Kreis ist, und beweisen ein verfeinertes Ergebnis, welches überraschenderweise auch für p = 1 gilt. Wir schließen mit einem maximalen Theorem, das potenzielle Anwendungen hat.