Eine fundierte und vollständige equationale Theorie für 3-Qubit Toffoli-Hadamard-Schaltungen

Wir geben eine fundierte und vollständige equationale Theorie für 3-Qubit-Quanten-Schaltungen über dem Toffoli-Hadamard-Gatensatz X, CX, CCX, H. Das heißt, wir führen eine Sammlung wahrer Gleichungen unter Toffoli-Hadamard-Schaltungen auf drei Qubits ein, die ausreichend ist, um jede andere wahre Gleichung zwischen solchen Schaltungen abzuleiten. Um diese equationale Theorie zu erhalten, betrachten wir zunächst Schaltungen über dem Toffoli-K-Gatensatz X, CX, CCX, K, wobei K = HxH. Die Toffoli-Hadamard- und Toffoli-K-Gatensätze erscheinen ähnlich, aber sie sind entscheidend unterschiedlich bei genau drei Qubits. In der Tat erzeugt der erstgenannte eine unendliche Gruppe von Operatoren, während letzterer die endliche Gruppe von Automorphismen des bekannten E8-Gitters erzeugt. Wir nutzen diesen Umstand und die Theorie der Automorphismengruppen von Gittern, um eine fundierte und vollständige Sammlung von Gleichungen für Toffoli-K-Schaltungen zu erhalten. Anschließend erweitern wir diese equationale Theorie auf eine für Toffoli-Hadamard-Schaltungen, indem wir die vorherige Arbeit von Li et al. zu Toffoli-Hadamard-Operatoren nutzen.